函数奇偶性经典讲义 - 新_doc

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函数奇偶性经典讲义 - 新

函数奇偶性经典讲义 - 新

(非奇非偶) (三)、奇偶函数的性质:

1、奇函数的反函数也是奇函数

2、奇偶函数的加减:±±±奇奇=奇,偶偶=偶,奇偶=非奇非偶;奇偶函数的乘除:同偶异奇

3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

4、定义在R 上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和

()()()()()()

()22

f x f x f x f x f x --+-=

+奇偶

(四)、函数奇偶性的做题方法与步骤。

第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步,求出()f x -的表达式;第三步,

比较()()f x f x -与的关系()()()()f x f x f x f x -⎧⎪⎨-⎪⎩与相等,函数为偶

与互为相反数,函数为奇函数

Ⅱ 题型与方法归纳

题型与方法()()()()()0,0,020,===f x f x f x f x ⎧+-=⎧⎪→⎪⎨--=⎪⎪⎩⎨

±±±⎧⎪

⎨⎪

⎩⎩则是奇函数

定义法:1)看定义域是否关于对称,

)若则是偶函数奇偶加减:奇奇奇,偶偶偶,奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除:同偶异奇。 一、判定奇偶性

例1:判断下列函数的奇偶性

1) ()()2

1f x x x =+ 2)()112

log x x f x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭

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= 3)()f x =4)()f x = 5)()2

2x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨

⎪--<⎪⎩

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解:1)()f x 的定义域为R ,()()()()2

11f x x

x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。

2)()f x 的定义域为11x

x

-+0>即11x -<<,关于原点对称()()()11112

log log x x x x f x ⎛⎫--+⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭

⎝⎭

-==

()21log 1x f x x -⎛⎫

=-=- ⎪+⎝⎭

,所以原函数为奇函数。

3) ()f x 的定义域为2

x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩即1x =±,关于原点对称,又()()110f f -==即

()()()()1111f f f f -=-=-且 ,所以原函数既是奇函数又是偶函数。

4)()f x 的定义域为20

20x x -≥⎧⎨-≥⎩ 即2x =,定义域不关于原点对称,所以原函数既不是奇函数又不是偶

函数。

5)分段函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称, 当0x >时,0x -<,()()()2

22111111222f x x x x f x ⎛⎫-=-

--=--=-+=- ⎪⎝⎭ 当0x <时,0x -> ,()()()2

22111111222f x x x x f x ⎛⎫-=

-+=+=---=-

⎪⎝⎭

综上所述,在()(),00,-∞⋃+∞上总有()()f x f x -=- 所以原函数为奇函数。

注意:在判断分段函数的奇偶性时,要对x 在各个区间上分别讨论,应注意由x 的取值范围确定应用

相应的函数表达式。

练习1:判断下列函数的奇偶性

1)()()()()

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2616x x f x x x -+=- 2)()22

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f x x =+- 3)()f x = 4)()22f x x x =++- 5)()22

x x

x f x x x

x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩

二、利用奇偶性求函数解析式:

例2:设()f x 是R 上是奇函数,且当[)0,x ∈+∞时()(1f x x =+,求()f x 在R 上的解析式

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解:当[)0,x ∈+∞时有()(1f x x =,设(),0x ∈-∞, 则()0,x -∈+∞,从而有

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()()((

11f x x x -=-+=- ,

()f x 是R 上是奇函数,∴()()f x f x -=-

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所以()(

)(1f x f x x =--= ,因此所求函数的解析式为(

)(

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(1010

x x f x x x ⎧+≥⎪

=⎨

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<⎪⎩

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注意:在求函数的解析式时,当球自变量在不同的区间上是不同表达式时,要用分段函数是形式表示出来。

练习2:已知()y f x =为奇函数,当0x ≥时,()22f x x x =-+,求()f x 的表达式。

练习3、已知()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,且()()x f x g x e +=,求函数()f x 的表达式。

例3:设函数()f x 是定义域R 上的偶函数,且图像关于2x =对称,已知[2,2]x ∈-时,()21f x x =-+ 求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式。

解:图像关于2x =对称,()()22f x f x ∴-=+, ()()()22f x f x =-- =()()()4[4]4f x f x f x -=--=- ()()4f x f x =+ 4T ∴= []6,2x ∈--

[]42,2x +=- ∴()()()2

441f x x f x +=-++= 所以[]6,2x ∈--时()f x 的表达式为()f x =()2

41x -++

练习3:已知函数 ()f x 为奇函数,当0x ≥时,()223f x x x =-,求()f x 的表达式。

例4:已知函数()538f x x ax bx =++-且()210f -=,求()2f 的值

解:令()53g x x ax bx =++,则()()8f x g x =- ()()()22810218f g g -=--=⇒-=

()g x 为奇函数,∴()()()2218218g g g -=-=∴=- ()()22818826f g =-=--=-

练习4:已知函数()7534f x ax bx cx dx =-+--且()39f -=-,求()3f 的值。

例5:定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上单调递增,且有()()2221321f a a f a a ++<-+ 求a 的取值范围。

解:

2217212048a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,2

2123213033a a a ⎛

⎫-+=-+> ⎪⎝

⎭,且()f x 为偶函数,且在区间

(),0-∞单调递增,()f x ∴在区间()0,+∞上为减函数,∴221a a ++>2321a -+⇒03a <<

所以a 的取值范围是()0,3。

点评:利用函数的奇偶性及单调性,将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系,从而应用不

等式有关知识求解.

练习5:定义在()1,1-上的奇函数()f x 为减函数,且()()2110f a f a -+-<,求实数a 的取值范围。

练习6:定义在[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时,()g x 为减函数,若()()1g m g m -<成立,求m 的取值范围。

三、抽象函数奇偶性的判断

解题方法与步骤:(1)设/令 (2)求值 (3)判断 对任意的,x y ,均有()()()f xy xf y yf x =+,是判断函数奇偶性。

解:设y=-1,则()()()1f x xf f x -=--。令x=y=-1, ()()1

f f -=-,令x=y=1,()10f =, 所以()()f x f x -=-,()f x 是奇函数。

练习1、已知()()()()2,f x y f x y f x f y -++=且()00f ≠,判断函数()f x 的奇偶性。

练习2、()()()f x y f x f y +=+,,x y R ∈,判断函数的奇偶性。

趁热打铁

1、判断下列函数的奇偶性.

(1)59

++=x x y ;(2))1(log 2

++=x x y a ;(3)2x x e e y -+=;(4) 2

x

x e e y --=

2、设函数)(x f 定义在],[a a -上,证明:

(1))()(x f x f -+为偶函数;(2) )()(x f x f --为奇函数.

3、若函数()f x 在区间3

3,2a a ⎡⎤-⎣⎦上是奇函数,则a=( )

A . -3或1 B. 3或-1 C. 1 D. -3 4、 已知函数(

)f x =

,则它是( )

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A 奇函数

B 偶函数

C 即是奇函数又是偶函数

D 既不是奇函数又不是偶函数

5. ,,x y R ∈ ()()()f xy f x f y =+,判断()f x 的奇偶性。

温故知新

1. 判断下列函数的奇偶性

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