巴拿赫(Banach)火柴盒问题_doc

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巴拿赫(Banach )火柴盒问题

波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴,分别放在两个衣袋里,每盒有n 根火柴. 每次使用时,便随机地从其中一盒中取出一根. 试求他将其中一盒火柴用完,而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律.

解 为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空,而另一盒还有k 根的概率,我们记A 为取

左衣袋盒中火柴的事件,___

A 为取右衣袋盒中火柴的事件. 将取一次火柴看作一次随机实验,

每次实验结果是A 或___A 发生。显然有21

)()(___

==A p A p .

若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空,这时事件A 已经是第1+n 次发生,而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋中取走了k n -

根火柴,即___

A 发生了k n -次. 即一共做了12+-k n 次随机试验,其中事件A 发生了1+n 次,___

A 发生了k n -次. 在这12+-k n 次实验中,第12+-k n 是A 发生,在前面的k n -2 次实验中A 发生了n 次. 所以他发现左衣袋火柴盒空,而右衣袋恰有k 根火柴的概率为

k n n

k n k n n n

k n C A P A p C A p ----⎪⎭⎫ ⎝⎛=22___22121))(())(()(

由对称性知,当右衣袋中空而左衣袋中恰有k 根火柴的概率也是k n n k n C --⎪⎭⎫ ⎝⎛222121.

最后得巴拿赫发现他一只衣袋里火柴空而另一只衣袋的盒中恰有k 根火柴的概率为

n k C k n n

k n ,,1,0,2121

22 =⎪⎭⎫ ⎝⎛--

1、作者:周义仓,赫孝良

2、书名:《数学建模实验》

3、出版社:西安交通大学出版社

4、出版时间:1999年10月

巴拿赫(Banach )火柴盒问题

波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴,分别放在两个衣袋里,每盒有n 根火柴。每次使用时,便随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完,而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。

为了求得巴拿赫衣袋中的一盒火柴已空,而另一盒还有k 根的概率,我们记A 为取左衣袋盒中火柴的事件,A 为取右衣袋盒中火柴的事件。将取一次火柴看作一次随机实验,每次实验结果是A 或A 发生。显然有P (A )= P (A )=21

.

若巴拿赫首次发现他左衣袋中的一盒火柴变空,这时事件A 已经是第n+1次发生,而此时他右边衣袋中火柴盒中恰剩k 根火柴相当于他在此前已在右衣袋