[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课堂探究学案新人教B版必_doc

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生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 1.1.2 余弦定理

课堂探究

一、三角形中的四类基本问题

剖析:解三角形的问题可以分为以下四类:

(1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形.

此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,注意判断解的个数.

(2)已知三角形的两角和任一边,解三角形.

此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

(3)已知两边和它们的夹角,解三角形.

此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边,再用正弦定理或余弦定理求另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.

(4)已知三角形的三边,解三角形.

此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.

二、教材中的“?”

在△ABC 中,令AB u u u r =c ,AC u u u r =b ,BC uuu r =a ,你能通过计算|a |2=a·a 证明余弦定理

吗?

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剖析:如图所示,|a |2=a ·a =a 2

=BC uuu r ·BC uuu r =(AC u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r )=2AC

u u u r -2AC u u u r ·AB u u u r +2AB u u u r =2AC u u u r -2|AC u u u r ||AB u u u r |cos A +2AB u u u r =b 2+c 2-2bc cos A ,即a 2=b 2+c 2

-2bc cos A .

同理可证b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .

知识拓展:除了向量法和几何法来证明余弦定理外,我们还可以用坐标法或正弦定理来解决.

(1)(坐标法)如图所示,以A 为坐标原点,AC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,