2010北京高考数学试题及答案_doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理)(北京卷)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷(选择题 共140分)

一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项。

(1) 集合2

{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤,则P M I =

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} (2)在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m= (A )9 (B )10 (C )11 (D )12

(3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右

图所示,则该几何体的俯视图为

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(4)8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为

(A )8289A A (B )8289A C (C ) 8287A A (D )82

87A C

(5)极坐标方程(p-1)(θπ-)=(p ≥0)表示的图形是

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(A )两个圆 (B )两条直线

(C )一个圆和一条射线 (D )一条直线和一条射线 (6)a 、b 为非零向量。“a b ⊥”是“函数f (x )=(xa+b ) (xb-a )为一次函数”的

(A )充分而不必要条件 (B )必要不充分条件

(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 表示的平面区域为D ,若指数函数y=x

a 的图像

(7)设不等式组,

存在区域D 上的点,则a 的取值范围是

(A )(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] (8)如图,正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2,动点E 、F 在棱11A B 上,动点P ,Q 分别在棱AD ,CD 上,若EF=1,1A E=x ,DQ=y ,D P=z(x,y,z大于零)

,则四面体PE FQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关

第II 卷(共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)在复平面内,复数21i

i

-对应的点的坐标为 。

(10)在△ABC 中,若b = 1,

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C π

∠=,则a = 。

(11)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)。由图中数据可知a = 。若要从身高在[ 120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为 。

(12)如图,O 的弦ED ,CB 的延长线交于点A 。若BD ⊥AE ,AB =4, BC =2, AD =3,

则DE = ;CE = 。

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(13)已知双曲线

1a b χγ-

=的离心率为2,焦点与椭圆

χγ+

=的焦点相同,那么双

曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。

(14)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿χ轴滚动。设顶点(,)P χγ的轨迹方程是

()f γχ=,则函数()f χ的最小正周期为 ;()f γχ=在其两个相邻零点间

的图象与χ轴所围区域的面积为 。

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说明:“正方形P ABC 沿χ轴滚动”包括沿χ轴正方向和沿χ轴负方向滚动。沿χ轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在χ轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续。类似地,正方形P ABC 可以沿χ轴负方向滚动。

三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证

明过程。

(15)(本小题共13分)

已知函数()f χ2

2cos2sin 4cos χχχ=+-。

(Ⅰ)求()3

f π

=的值;

(Ⅱ)求()f χ的最大值和最小值。 (16)(本小题共14分)

如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,C E ⊥AC,EF ∥

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CE=EF=1.

(Ⅰ)求证:AF ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:CF ⊥平面BDE ; (Ⅲ)求二面角A-BE-D 的大小。

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(17)(本小题共13分)

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ,q (p >q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

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(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求p ,q 的值; (Ⅲ)求数学期望E ξ。 (18)(本小题共13分)

已知函数f (x )=In(1+x )-x +

x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。 (19)(本小题共14分)

在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

-

. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ,问:是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。 (20)(本小题共13分) 已

{|(,,),{0,1},1,2,

n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…,

…对于12(,,,)n A a a a =…,12(,,,)n n B b b b S =∈…,定义A 与B 的差为

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1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为111

(,)||i d A B a b -=

-∑

(Ⅰ)证明:,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有,且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅱ)证明:,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆,P 中有m(m ≥2)个元素,记P 中所有两元素间距离的平均值为d

(P).

证明:

d

(P )≤

2(1)

mn

m -.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)