逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)_doc

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逆矩阵的几种求法与解析

矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.

1.利用定义求逆矩阵

定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.

例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且

(E-A )1-= E + A + A 2+…+A 1-K

证明 因为E 与A 可以交换, 所以

(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,

因A K = 0 ,于是得

(E-A)(E+A+A 2+…+A 1-K )=E , 同理可得(E + A + A 2+…+A 1-K )(E-A)=E ,

因此E-A 是可逆矩阵,且

(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .

同理可以证明(E+ A)也可逆,且

(E+ A)1-= E -A + A 2+…+(-1)1-K A 1-K .

由此可知, 只要满足A K =0,就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.

例2 设 A =⎥

⎥⎥

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0000

0010,求 E-A 的逆矩阵.

分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.

解 容易验证

A 2

=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0000000060000200, A 3=⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎣⎡00000000

, A 4=0

而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以

(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=

⎥⎥

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000

2.初等变换法

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法.如果A 可逆,则A 可通过初等变换,化为单位矩阵I ,即存在初等矩阵S P P P ,,21 使

(1)s p p p 21A=I ,用A 1-右乘上式两端,得:

(2) s p p p 21I= A 1-

比较(1)(2)两式,可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I 作同样的初等变换,就化为A 的逆矩阵A 1-.

用矩阵表示(A I )−−−

→−初等行变换

为(I A 1-),就是求逆矩阵的初等行变换法,它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是,在作初等变换时只允许作行初等变换.同样,只用列初等变换也可以求逆矩阵.

例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡521310132.

解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521

→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

故 A 1-=⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32

/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A 不可逆,因为此时表明A =0,则A 1-不存在.

例2 求A=⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡987654321.

解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡------107126001463000132

→ ⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----12100001463000132

1. 由于左端矩阵中有一行元素全为0,于是它不可逆,因此A 不可逆.

3.伴随阵法

定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且

A 1-=

A 1⎥

⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n

n

n n A A A A A A A A A (212221212111)

其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.

矩阵⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n

n n n A A A A A A

A A A (2122212)

12111称为矩阵A 的伴随矩阵,记作A 3,于是有A 1-=A 1

A 3.

证明 必要性:设A 可逆,由A A 1-=I ,有1-AA =I ,则A 1-A =I ,所以A ≠0,即A 为非奇异.

充分性: 设A 为非奇异,存在矩阵

B=

A 1⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n

n

n n A A A A A A A A A .....................212221212111, 其中

AB=⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)

11211⨯

A 1⎥

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡nn n

n n n A A A A A A A A A ...............

(2122212)

=

A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ...

.........0...00...0=⎥

⎥⎥

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)

...1......0...100...01=I

同理可证BA=I.

由此可知,若A 可逆,则A 1-=

A

A 3. 用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快阵,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可.

若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵,在求逆矩阵的过程中,需要求9个或9个以上代数余子式,还要计算一个三阶或三阶以上行列式,工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确,一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误,必须对每一计算逐一排查.

4.分块矩阵求逆法

4.1.准对角形矩阵的求逆

命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵,且A 11为n 阶方阵,A 22为m 阶方阵

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡221100A A ⎥⎦

⎢⎣⎡--1221

1100A A 证明 因为A =

0A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.

设A 1-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡W Z

Y X

,于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X

⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211

00A A =⎥⎦

⎢⎣⎡m n

I I 00,

其中 X A 11=I n , Y A 22=0,Z A 11=0,W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆,用A 1

11-、A 1

22-分别右乘上面左右两组等式得:

X= A 1

11-,Y=0,Z=0,W= A 1

22-

故 A 21

= ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡--1221

0A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去,即:

1...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡---11

1...

k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆

命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵,则有

0-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡A A A =⎥⎦

⎢⎣⎡-----1

A A A A A

证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡221211

0A A A

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦

⎣⎡2211

0A A 两边求逆得

121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1

0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--1221

0A A 所以 1

-⎥⎦⎤⎢

⎣⎡A A A =⎥⎦

⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦

⎢⎣⎡--1221110

0A A =⎥⎦

⎢⎣⎡-----1

A A A A A

同理可证

110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦

⎢⎣⎡-----1221

110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法,并且在求逆矩阵之前,首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.

5.恒等变形法

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