因式分解知识点归纳总结二_doc

(文档共14页)  

当前位置: 雨花文库>初中教育>数学>因式分解知识点归纳总结二_doc


因式分解知识点归纳总结二

概述

定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。

意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1))

基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3.

公式:a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如:a2+4ab+4b2=(a+2b)2。

(3)分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:

①等式左边必须是多项式;

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;

③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式;

(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;

③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。

比如:

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。

同样,这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题:

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法:=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。

2. x3-x2+x-1

解法:=(x3-x2)+(x-1)

=x2(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法:=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+ d).

图示如下:

×

c d

例如:因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b).

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如:x²+3x-40

=x²+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)²-(6.5)²

(文档共14页)